Archiv pro štítek: matematika

Grafy goniometrických funkcí

Po delší době jsem se opět dokopal k tomu, abych něco sepsal. Chci se dnes podělit o jednu aktivitu, kterou jsem vymyslel (jak už to bývá) cestou třídy.  

Potřeboval jsem zjistit, jak dobře studenti pochopili odvození grafu funkce sinus z jednotkové kružnice. Nakreslil jsem na jedno křídlo tabule velkou jednotkovou kružnici a na zbytek soustavu souřadnou ve stejném měřítku. 

Na první lavici jsem zamíchal papírky s hodnotami úhlů a studenti chodili po skupinkách k tabuli. Zde si náhodně vybrali úhel, našli si ho na jednotkové kružnici, odečetli hodnotu funkce sinu a na odpovídající  místo v soustavě souřadné nakreslili bod.  Studenti už sice zhruba znali tvar funkce sinus, ale protože body se objevovaly na tabuli napřeskáčku, nepředpokládám, že by jim to pomohlo.  Po nějaké době vypadala tabule nějak takto:

Studenti používali různé barvy, aby poznali, který bod kdo kreslil.  Když se všichni vystřídali (někteří ze studentů, kteří si nebyli moc jistí kreslili i více bodů než jeden) nakreslil jsem na tabuli jak by měl výsledný graf vypadat a zhodnotili jsme, jak dobře se jim povedlo hodnotu sinu přenést do soustavy. 

Je vidět, že ne všem se to podařilo úplně správně. Někdy byla příčinou jen nepřesnost, někdy si popletli + a – , v pár případech se ukázalo, že mají problém i s nalezením úhlu na jednotkové kružnici. Po diskusi jsem jim dal znovu možnost vytáhnout si další lísteček s úhlem a zkusit si to ještě jednou. Teď už jim to šlo mnohem lépe a když náhodou viděli, že jim bod vychází mimo graf, dokázali přijít na to, kde udělali chybu. 

Studentům se to docela líbilo a chtěli stejnou aktivitu zopakovat i pro další goniometrické funkce.  I já z pohledu učitele hodnotím aktivitu jako zdařilou (jinak bych o ni nepsal :-)) protože:

  • všichni studenti se museli zapojit a já měl okamžitou zpětnou vazbu, jak zvládají práci s jednotkou kružnicí a jak chápou, kde se bere hodnota sinu
  • studenti dostali informaci o tom, jestli problematiku chápou dobře a já nemusel každého kontrolovat zvlášť. Sami viděli po nakresleni grafu, jestli dokázali nakreslit bod správně nebo ne. 
  • Protože pracovali hromadně u tabule, slyšel jsem, jak si vzájemně pomáhají a dozvěděl se, které části jim dělají problémy a proč. 
  • Mohl jsem okamžitě pomoci těm, kteří si nevěděli rady a sami v lavici by nedělali nic, protože by měli pocit, že to nezvládnou. Takhle stačilo třeba jen drobně poradit a zbytek už dokázali sami. 
  • Tím, že jich bylo u tabule vždy více najednou, proběhla aktivita celkem rychle a navíc se ti, kteří si nevěděli rady nemuseli stydět před ostatními. 

Protože měla aktivita úspěch, hodlám ji použít opakovaně a proto jsem si vyrobil hezčí a trvanlivější kartičky s úhly. Můžete si je stáhnout pod článkem. V dalších hodinách jsem zkusil stejnou aktivitu, ale prodloužil jsem osu x v soustavě od -pí až do 4pí.  Jednak proto, abych viděl, jak zvládnou úhel mimo základní interval a také proto, abych měl více kartiček a studenti se mohli vícekrát vystřídat, pokud by jim to nešlo.  

Původně jsem chtěl jednotkovou kružnici nakresli přímo do soustavy, ale pak mi přišlo, že by to bylo pro body blízké počátku velmi nepřehledné a také je pro studenty přirozenější pracovat se samostatnou jednotkou kružnicí. 

PS: Obrázky jsou pouze ilustrační, na tabuli to vypadalo mnohem lépe 🙂

  • KartičkyUhly – soubor s kartičkami, úhly jsou ve stupních i v radiánech.

Pracovní listy pro funkce

Pracovní listy pro výuku funkcí v kvartě osmiletého gymnázia. 

Pro listy F04 a F05 je třeba soubory v geogebře:

  • funkce – archiv obsahuje dva soubory. Jeden pro lineární a jeden pro kvadratickou funkci. Oba soubory obsahují posuvné hodnoty parametrů funkcí a je možné snadno a rychle odvozovat, jak se který parametr na podobě grafu projeví.

Podobnost a funkce úhlu

Další sada pracovních listů a materiálů v geogebře.  Tentokrát na téma podobnost a funkce úhlu. Byly vytvořené pro kvartu osmiletého gymnázia, ale klidně by se daly použít i na ZŠ. Všechny jsou velmi silně inspirovány lekcemi na realisticky.cz. Jako novinka jsou tentokrát přiloženy i nějaké pomocné soubory v geogebře. 

  • PL-GON01-OdvozeniSinus
  • PL-GON02-OdvozeniCosinus
  • PL-GON03-OdvozeniTangensCotangens
  • PL-POD01-DeleniUsecek
  • geogebra – archiv obsahuje tři soubory
    • deleniuseckyvpomeru.ggb – názorně demonstruje konstrukci dělení úsečky v daném poměru. Je možýné pohybovat body A,B a C a ukázat, že na poloze pomocné polopřímky a na velikosti původní úsečky nezáleží. Rovněž je možné pomocí hodnoty r měnit velikost „dílku“ na pomocné polopřímce.
    • HodnotyTgCotg.ggb – obsahuje pravoúhlý trojúhelník se zvýrazněnými odvěsnami. Bodem C je možné pohybovat a odečítat zobrazené délky odvěsen a jejich poměry.  Slouží k vyplnění tabulky v úvodu pracovního listu PL-GON03
    • podobnostvzdalenosti.ggb – demonstruje zachování poměru vzdáleností v podobných útvarech. Obsahuje dva mnohoúhelníky z nichž jeden je podobný druhému s poměrem 2. Lze pohybovat body I a J a demonstrovat na délce zelené úsečky, že pokud body I a J umístím v obou útvarech na odpovídající si místo, pak je poměr délek zelených úseček stále stejný jako poměr podobnosti celých útvarů.

Lomené výrazy a počítání s mnohočleny

Po delší době přidávám další sadu pracovních listů. Tentokrát jsou určené pro počítání s polynomy a pro procvičení lomených výrazů.Jako tredičně jsou vytvořené podle webu realisticky.cz, ale obsahují i pár příkladů navíc. Jsou vytvořeny pro kvintu a první ročník čtyřletého gymnázia, ale možná by se daly použít i v kvartě nebo deváté třídě. 

Pracovní listy:

 

Matematické zdroje

Pokud máte rádi matematiku nebo třeba jen potřebujete dobrý zdroj pro zajímavé úlohy zkuste sledovat následující účty. Všechny doporučované stránky sám osobně dlouhodobě používám a proto je mohu doporučit s klidným svědomím.

Youtube:

  • Marek Valášek  – kanál plný srozumitelně vysvětlené středoškolské matematiky a najdete zde i pár bonusových, velmi zajímavých videí
  • isibalo.com – Výuková videa, skvělý doplněk k látce z hodiny.
  • Numberphile – často aktualizovaný kanál plný zajímavé matematiky kolem nás (AJ).

Twitter:

  • solvemymaths – denně aktualizovaný kanál plný drobnějších matematických úloh a hříček a nejrůznějších matematických zajímavostí.  Spousta věcí se hodí i pro základní školu (Aj).

Pokud potřebujete nástroje, které vám pomohou pochopit některé části matematiky,  pomocí kterých si můžete ověřit vaše řešení nebo které vám pomohou řešení nalézt, určitě vyzkoušejte některý z těchto:

  • Wolfram Alfa – asi nejmocnější nástroj, který lze na webu nalézt. Umí cokoliv ze středoškolské matematiky a ještě mnohem víc.
  • Geogebra – skvělý nástroj pro středoškolskou matematiku. Umí kreslit grafy funkcí, zvládá planimetrii, geometrii ve 3D, většinu věcí dokáže interaktivně měnit. Skvělá věc pro každého, kdo se nebojí experimentovat a má rád matematiku.
  • Desmos – taková hodně, ale hodně dobrá grafická kalkulačka. Neumí toho tolik jako geogebra, ale některé věci umí lépe.

Pokud sháníte stránky, kde se můžete doučit látku, kterou jste ve škole nepochopili nebo na kterou jste chyběli, určitě to zkuste tady:

  • Realisticky.cz – asi nejlepší online učebnice, kterou můžete najít. Velkou výhodou je, že mnoho hodin budeme probírat přímo podle těchto stránek.

Pracovní listy na pravděpodobnost

Další sada pracovních listů, tentokrát pro pravděpodobnost. Opět jsou vytvořeny podle serveru realisticky.cz a tam také najdete řešení příkladů. U některých se jako novinka objevují na konci výsledky, takže studenti si mohou svůj výpočet zkontrolovat.