Goniometrie – kde se berou hodnoty funkcí sinus a cosinus

Po delší době opět mám čas něco utrousit. Jako inspiraci pro ostatní sdílím aktivitu, kterou jsem dnes použil v hodině. Cílem hodiny bylo ujasnit si a procvičit si odečítání hodnot funkcí sinus a cosinus z jednotkové kružnice.
Na začátku hodiny jsem rozdělil třídu do skupin a všechny skupiny dostaly stejné zadání, lišilo se jen to, jakou funkci odečítali a jak byly popsány úhly, jestli ve stupních nebo v radiánech.

Skupina dostala velkou jednotkovou kružnici a žáci na ni měli popsat hodnoty úhlů a zakreslit, kde se bere hodnota sinu nebo cosinu. Zároveň měli všechny hodnoty popsat. Protože v minulých hodinách již odvození viděli, šlo jim to poměrně rychle a šlo spíše o to, ujasnit si případné nejasnosti. Také jsem jim doporučil zobrazit stejné hodnoty stejnou barvou, aby si lépe uvědomili, že hodnoty se opakují.

Po nějaké době, kdy již měla většina skupin hotovo, jsem je nechal, aby si skupiny se stejným nebo obdobným (lišícím se jen tím, jestli byly úhly ve ° nebo rad) zadáním své výsledky zkopírovali. Zde se ukázalo, že i když zobrazit hodnoty uměli, občas zapomínali na znaménko -.

Po kontrole jsem jim nechal čas na to, aby si odvození a hodnoty překreslili do svých malých kružnic a protože nám na konci hodiny zbylo trochu času, využil jsem kartičky s úhly z minulé hodiny (viz článek ) a žáci chodili po jednom k tabuli, vylosovali si úhel a funkci a s pomocí své jednotkové kružnice zkusili určit hodnotu.

Celá aktivita vyšla na jednu vyučovací hodinu a výsledkem je (snad), že žáci vědí, kde se berou hodnoty sinu a cosinu, mají zpracovanou svou vlastní jednotkou kružnici, kterou mohou dále používat, a hodnoty goniometrických funkcí pro ně nejsou ničím magickým.

Soubory k aktivitě:

Pomůcka pro učitele

Hledal jsem na netu nějakou pomůcku, která by mi pomohla trochu lépe organizovat práci v hodině. Našel jsem jich několik a například takový Classroomscreen vypadá hodně dobře. Bohužel jsem ale nepřišel na to, jak v něm uložit třídy a nechtělo se mi stále znovu zadávat studenty. Ani další nalezené nástroje mi úplně nevyhovovaly. Proto jsem si jako správný ajťák napsal svůj program :-). Už ho používám cca půl roku, vyladil jsem drobné chybičky a myslím, že je celkem použitelný. Proto jsem se rozhodl se o něj podělit.

  • ttools – program je určen pro MS Windows a vyžaduje .Net Framework

 Program umí:

  • Náhodně losovat studenty ze třídy
  • Upozorňovat v různé časy a části hodiny
  • Vytvářet z přítomných žáků skupiny podle více kritérií 

Program není třeba instalovat, stačí ho nakopírovat do nějaké složky a upravit soubory hodiny.txt (zde nastavíte časy zvonění, aby program uměl upozorňovat před koncem hodiny) a studenti.txt. Do souboru se studenty zadejte třídy a studenty, kteří do nich chodí.  Název třídy zadávejte se znakem # na začátku, studenty každého na vlastní řádek. Pokud chcete u tvorby skupin využívat rozdělení podle úrovní studenta, napište za jméno studenta číslem jeho úroveň v daném předmětu. Jak si úrovně zvolíte je na vás, můžete jich použít kolik chcete.  Jméno a úroveň oddělte středníkem.

Po spuštění programu vyberte třídu (viz první obrázek – 1.), nastavte, kdo chybí (2.) a můžete pracovat.

Tlačítkem losuj studenta vyberete náhodně jednoho z přítomných studentů. Hodnota úroveň opakování říká, kolikrát může být student vybrán, než bude vyřazen z výběru. Pokud jsou vyřazeni všichni, program začne znovu vybírat ze všech přítomných. 

Druhou funkcí je upozorňování učitele. Lze využít při písemkách, při skupinové práci, atd. Upozornění aktivujete zaškrtnutím chechboxu u daného typu.  Jednotlivé typy můžete používat i současně. 

Poslední funkcí je automatické náhodné generování skupin z přítomných studentů. Můžete zadat buď počet skupin a program sám určí počet studentů ve skupině nebo počet studentů ve skupině a program určí počet skupin.  Použije se číslo zadané vlevo od tlačítka, které stisknete. Zadáte-li počet takový, že jedna skupina by měla výrazně méně žáků než ostatní, sníží se počet lidí ve skupině o jedna, aby byly skupiny rovnoměrněji rozdělené.

Pokud nastavíte náhodné rozdělení, budou se skupiny generovat zcela náhodně. Rovnoměrné rozdělaní znamená, že se program bude snažit rozdělit studenty do skupin podle jejich úrovně, tak aby byly skupiny přibližně vyrovnané. Stejní k sobě znamená, že program bude rozdělovat studenty do skupin primárně tak, aby byly ve skupinách studenti stejné úrovně. Rozděluje je vždy od úrovně s nejnižším číslem. Je tedy vhodné volit úrovně tak, aby vyšší číslo znamenalo horší úroveň, například podle známek, které jim vycházejí. Vygenerované skupiny jsou zobrazeny větším písmem, aby byl možné je např. promítnout projektorem.

 

 

 

Grafy goniometrických funkcí

Po delší době jsem se opět dokopal k tomu, abych něco sepsal. Chci se dnes podělit o jednu aktivitu, kterou jsem vymyslel (jak už to bývá) cestou třídy.  

Potřeboval jsem zjistit, jak dobře studenti pochopili odvození grafu funkce sinus z jednotkové kružnice. Nakreslil jsem na jedno křídlo tabule velkou jednotkovou kružnici a na zbytek soustavu souřadnou ve stejném měřítku. 

Na první lavici jsem zamíchal papírky s hodnotami úhlů a studenti chodili po skupinkách k tabuli. Zde si náhodně vybrali úhel, našli si ho na jednotkové kružnici, odečetli hodnotu funkce sinu a na odpovídající  místo v soustavě souřadné nakreslili bod.  Studenti už sice zhruba znali tvar funkce sinus, ale protože body se objevovaly na tabuli napřeskáčku, nepředpokládám, že by jim to pomohlo.  Po nějaké době vypadala tabule nějak takto:

Studenti používali různé barvy, aby poznali, který bod kdo kreslil.  Když se všichni vystřídali (někteří ze studentů, kteří si nebyli moc jistí kreslili i více bodů než jeden) nakreslil jsem na tabuli jak by měl výsledný graf vypadat a zhodnotili jsme, jak dobře se jim povedlo hodnotu sinu přenést do soustavy. 

Je vidět, že ne všem se to podařilo úplně správně. Někdy byla příčinou jen nepřesnost, někdy si popletli + a – , v pár případech se ukázalo, že mají problém i s nalezením úhlu na jednotkové kružnici. Po diskusi jsem jim dal znovu možnost vytáhnout si další lísteček s úhlem a zkusit si to ještě jednou. Teď už jim to šlo mnohem lépe a když náhodou viděli, že jim bod vychází mimo graf, dokázali přijít na to, kde udělali chybu. 

Studentům se to docela líbilo a chtěli stejnou aktivitu zopakovat i pro další goniometrické funkce.  I já z pohledu učitele hodnotím aktivitu jako zdařilou (jinak bych o ni nepsal :-)) protože:

  • všichni studenti se museli zapojit a já měl okamžitou zpětnou vazbu, jak zvládají práci s jednotkou kružnicí a jak chápou, kde se bere hodnota sinu
  • studenti dostali informaci o tom, jestli problematiku chápou dobře a já nemusel každého kontrolovat zvlášť. Sami viděli po nakresleni grafu, jestli dokázali nakreslit bod správně nebo ne. 
  • Protože pracovali hromadně u tabule, slyšel jsem, jak si vzájemně pomáhají a dozvěděl se, které části jim dělají problémy a proč. 
  • Mohl jsem okamžitě pomoci těm, kteří si nevěděli rady a sami v lavici by nedělali nic, protože by měli pocit, že to nezvládnou. Takhle stačilo třeba jen drobně poradit a zbytek už dokázali sami. 
  • Tím, že jich bylo u tabule vždy více najednou, proběhla aktivita celkem rychle a navíc se ti, kteří si nevěděli rady nemuseli stydět před ostatními. 

Protože měla aktivita úspěch, hodlám ji použít opakovaně a proto jsem si vyrobil hezčí a trvanlivější kartičky s úhly. Můžete si je stáhnout pod článkem. V dalších hodinách jsem zkusil stejnou aktivitu, ale prodloužil jsem osu x v soustavě od -pí až do 4pí.  Jednak proto, abych viděl, jak zvládnou úhel mimo základní interval a také proto, abych měl více kartiček a studenti se mohli vícekrát vystřídat, pokud by jim to nešlo.  

Původně jsem chtěl jednotkovou kružnici nakresli přímo do soustavy, ale pak mi přišlo, že by to bylo pro body blízké počátku velmi nepřehledné a také je pro studenty přirozenější pracovat se samostatnou jednotkou kružnicí. 

PS: Obrázky jsou pouze ilustrační, na tabuli to vypadalo mnohem lépe 🙂

  • KartičkyUhly – soubor s kartičkami, úhly jsou ve stupních i v radiánech.

Pracovní listy pro funkce

Pracovní listy pro výuku funkcí v kvartě osmiletého gymnázia. 

Pro listy F04 a F05 je třeba soubory v geogebře:

  • funkce – archiv obsahuje dva soubory. Jeden pro lineární a jeden pro kvadratickou funkci. Oba soubory obsahují posuvné hodnoty parametrů funkcí a je možné snadno a rychle odvozovat, jak se který parametr na podobě grafu projeví.

Podobnost a funkce úhlu

Další sada pracovních listů a materiálů v geogebře.  Tentokrát na téma podobnost a funkce úhlu. Byly vytvořené pro kvartu osmiletého gymnázia, ale klidně by se daly použít i na ZŠ. Všechny jsou velmi silně inspirovány lekcemi na realisticky.cz. Jako novinka jsou tentokrát přiloženy i nějaké pomocné soubory v geogebře. 

  • PL-GON01-OdvozeniSinus
  • PL-GON02-OdvozeniCosinus
  • PL-GON03-OdvozeniTangensCotangens
  • PL-POD01-DeleniUsecek
  • geogebra – archiv obsahuje tři soubory
    • deleniuseckyvpomeru.ggb – názorně demonstruje konstrukci dělení úsečky v daném poměru. Je možýné pohybovat body A,B a C a ukázat, že na poloze pomocné polopřímky a na velikosti původní úsečky nezáleží. Rovněž je možné pomocí hodnoty r měnit velikost „dílku“ na pomocné polopřímce.
    • HodnotyTgCotg.ggb – obsahuje pravoúhlý trojúhelník se zvýrazněnými odvěsnami. Bodem C je možné pohybovat a odečítat zobrazené délky odvěsen a jejich poměry.  Slouží k vyplnění tabulky v úvodu pracovního listu PL-GON03
    • podobnostvzdalenosti.ggb – demonstruje zachování poměru vzdáleností v podobných útvarech. Obsahuje dva mnohoúhelníky z nichž jeden je podobný druhému s poměrem 2. Lze pohybovat body I a J a demonstrovat na délce zelené úsečky, že pokud body I a J umístím v obou útvarech na odpovídající si místo, pak je poměr délek zelených úseček stále stejný jako poměr podobnosti celých útvarů.

Lomené výrazy a počítání s mnohočleny

Po delší době přidávám další sadu pracovních listů. Tentokrát jsou určené pro počítání s polynomy a pro procvičení lomených výrazů.Jako tredičně jsou vytvořené podle webu realisticky.cz, ale obsahují i pár příkladů navíc. Jsou vytvořeny pro kvintu a první ročník čtyřletého gymnázia, ale možná by se daly použít i v kvartě nebo deváté třídě. 

Pracovní listy: